Планиметрия: треугольники и четырёхугольники — тренажёр

Задача 1. AC = BC → углы при основании равны: ∠B = ∠A = 53°. ∠C = 180° − 2·53° = 74°.

Задача 2. ∠C = 108°, треугольник равнобедренный → ∠A = (180° − 108°)/2 = 36°.

Задача 3. Внешний угол при B равен 113° → внутренний ∠B = 67°. AC = BC → ∠A = ∠B = 67°. ∠C = 180° − 2·67° = 46°.

Задача 4. Медиана из прямого угла равна половине гипотенузы: CD = DB → треугольник BDC равнобедренный → ∠DCB = ∠B = 29°. ∠ACD = 90° − 29° = 61°.

Задача 5. Биссектриса делит прямой угол на 45°. Медиана CM = MB → ∠MCB = ∠B = 19°. Угол между ними: 45° − 19° = 26°.

Задача 6. Для острых углов α > β: угол между высотой и биссектрисой из прямого угла равен (α−β)/2. Тогда α − β = 36°, α + β = 90° → α = 63°, β = 27°. Меньший угол 27°.

Задача 7. Угол между биссектрисой и медианой из прямого угла тоже равен (α−β)/2 → α − β = 32°, α + β = 90° → α = 61°, β = 29°. Меньший угол 29°.

Задача 8. Угол между высотой и медианой из прямого угла равен α − β = 73° − 17° = 56°.

Задача 9. AD — биссектриса → ∠A = 2·∠CAD = 14°. ∠B = 180° − 103° − 14° = 63°.

Задача 10. В четырёхугольнике ADOE углы при D и E прямые (высоты), ∠A = 61°. ∠DOE = 360° − 90° − 90° − 61° = 119°.

Задача 11. Угол между биссектрисами двух углов треугольника: ∠AOB = 90° + ∠C/2 = 90° + 36° = 126°.

Задача 12. Соседние углы параллелограмма: α + β = 180°, β − α = 48° → β = 114°.

Задача 13. ∠ADC = 180° − 152° = 28°. Диагональ ромба — биссектриса угла: ∠BDC = 28°/2 = 14°.

Задача 14. ∠ABC = 180° − 46° = 134°. Диагональ BD делит его пополам: ∠DBA = 67°.

Задача 15. Площадь: S = 14·16 = 224. Высота к большей стороне: h = 224/28 = 8.

Задача 16. S(HBC): основание HB = AB/2, та же высота, что у ABC от C → S(HBC) = S(ABC)/2 = 36/2 = 18. S(AHCD) = 72 − 18 = 54.

Задача 17. S = ½·32·21 = 336. Высота к стороне 24: h = 2·336/24 = 28.

Задача 18. S = ½·a·b·sin γ = ½·15·15·sin 30° = ½·225·½ = 56,25.

Задача 19. Высота равностороннего треугольника: h = (√3/2)·a → a = 2h/√3 = 2·39√3/√3 = 78.

Задача 20. Средняя линия отсекает треугольник, подобный с коэффициентом ½ → площади относятся как 1:4. S(CDE) = 28/4 = 7.

Задача 21. Средняя линия отсекает треугольник в 4 раза меньшей площади: S(ABC) = 4·8 = 32.

Задача 22. Средняя линия равна (5+13)/2 = 9. Диагональ делит её на половины оснований: 5/2 = 2,5 и 13/2 = 6,5. Больший отрезок 6,5.

Задача 23. Высота из C делит AB пополам: cos A = (AB/2)/AC = 4/20 = 0,2.

Задача 24. cos B = BC/AB → AB = BC/cos B = 16/(4/5) = 20.

Задача 25. AC = 3√11 → BC = √(AB² − AC²) = √(100 − 99) = 1. sin A = BC/AB = 1/10 = 0,1.

Задача 26. AC = √(AB² − BC²) = √(400 − 384) = 4. cos A = AC/AB = 4/20 = 0,2.

Задача 27. AC = √(25² − 24²) = √49 = 7. sin B = AC/AB = 7/25 = 0,28.

Задача 28. ∠A + ∠B = 90° → sin B = cos A = √(1 − 0,8²) = 0,6.

Задача 29. BC = AC·tg A = 40·21/20 = 42. AB = √(40² + 42²) = √3364 = 58.

Задача 30. cos A = 8/17 → sin A = 15/17. AC = CH/sin A = 13,5·17/15 = 15,3.

Задача 31. AC = BC → ∠BAC = ∠ABC. Из прямоугольного треугольника с высотой AH: sin B = AH/AB = 9/12 = 0,75. Значит sin ∠BAC = 0,75.

Задача 32. AB = BC → ∠BAC = ∠BCA. Из прямоугольного треугольника ACH: sin A = CH/AC = 16/20 = 0,8. Значит sin ∠ACB = 0,8.