Разбор задания 16. Финансовая математика: кредиты — теория и разбор

Задание 16: кредит — считаем проценты не «от суммы», а от остатка долга

Возьмём кредит на полгода — и банк тут же начнёт начислять проценты. Но не на всю сумму, которую вы взяли изначально, а на то, что вы ещё должны на конкретный момент. Каждый месяц вы что-то выплачиваете, остаток долга уменьшается — и проценты за следующий месяц считаются уже от нового, меньшего остатка. Именно в этом пересчёте «от остатка» и прячется вся математика задания 16 про кредиты.

Банки предлагают заёмщику один из двух вариантов погашения, и от выбора схемы зависит, сколько в итоге придётся переплатить.

Что нужно знать

Зачем вообще две схемы

Банку нужно возвращать деньги регулярными платежами, но «регулярно» можно понимать по-разному:

• либо каждый месяц платить одинаковую сумму (удобно планировать бюджет);
• либо каждый месяц гасить одинаковую часть основного долга (тела кредита), а проценты — по факту, на то, что осталось.

Первый вариант называется аннуитетный платёж — фиксированная сумма, которая не меняется весь срок кредита (в её составе доля процентов сначала большая, потом уменьшается, а доля основного долга — растёт). Второй — дифференцированный платёж: сам платёж каждый месяц разный, потому что тело долга гасится равными долями, а проценты каждый раз пересчитываются от уменьшившегося остатка.

Чем они отличаются на практике

Главное, что нужно держать в голове при решении любой задачи на кредит: проценты в каждом периоде считаются не от исходной суммы кредита, а от того остатка долга, который есть именно на начало этого периода — поэтому таблица «остаток → проценты → платёж → новый остаток» и есть универсальный метод решения.

Проценты за период = остаток долга на начало периода × ставка за период. Это единственная формула, которую надо запомнить твёрдо — всё остальное (аннуитет, дифференцированный платёж, досрочное погашение) собирается из неё, как из кирпичика.

Что именно спрашивают в задании 16

Помимо «классики» с дифференцированными платежами, реальные варианты ЕГЭ включают:

• расчёт переплаты или общей суммы выплат по известному графику снижения долга;
• поиск срока кредита при аннуитетных платежах и известной ставке;
• определение процентной ставки, если известны все платежи и итоговая сумма;
• задачи на досрочное погашение — как меняется график, если часть долга закрыть раньше срока.

Все они решаются одним и тем же табличным способом: год (месяц) → остаток на начало → проценты → сумма к погашению тела долга → платёж → новый остаток.

Разбор примера

Эта задача — классический прототип, который регулярно встречается в банках заданий по теме «кредиты»: дифференцированные платежи с неравномерным последним взносом.

Дано: 15 января планируется взять кредит на 600 000 рублей сроком на 6 месяцев. Условия таковы:

• каждый месяц долг увеличивается на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца (то есть ставка — 5% в месяц от остатка);
• в первые пять месяцев заёмщик обязан выплачивать по 10% от первоначальной суммы кредита в счёт погашения тела долга плюс начисленные за месяц проценты;
• к 15 июля долг должен быть выплачен полностью — то есть в последний, шестой платёж войдёт весь оставшийся остаток тела долга плюс проценты за этот месяц.

Найти: сколько составит переплата по кредиту (разница между суммой всех выплат и первоначальной суммой кредита).

Рассуждаем так: раз тело долга гасится по 10% от исходной суммы (то есть по 60 000 ₽) в первые пять месяцев, к началу шестого месяца останется 100% − 5×10% = 50% долга — это и есть последний, самый крупный платёж. Проценты каждый месяц считаем строго от остатка долга на начало месяца, а не от исходных 600 000 ₽ — это и есть та самая ловушка, в которую попадают, если торопиться.

Показать решение и ответ

Построим таблицу «остаток → проценты → платёж»:

Месяц	Долг на начало, ₽	Проценты (5%), ₽	Погашение тела долга, ₽	Платёж за месяц, ₽
1	600 000	30 000	60 000	90 000
2	540 000	27 000	60 000	87 000
3	480 000	24 000	60 000	84 000
4	420 000	21 000	60 000	81 000
5	360 000	18 000	60 000	78 000
6	300 000	15 000	300 000	315 000

Проверим логику остатка: 600 000 → 540 000 → 480 000 → 420 000 → 360 000 → 300 000 → 0. Каждый раз вычитаем ровно 60 000 (10% от исходной суммы), а в последний месяц закрываем весь оставшийся долг — 300 000 ₽.

Сумма всех платежей: 90 000 + 87 000 + 84 000 + 81 000 + 78 000 + 315 000 = 735 000 ₽

Переплата — это разница между суммой выплат и суммой кредита: 735 000 − 600 000 = 135 000 ₽

В процентах от суммы кредита: 135 000 / 600 000 = 0,225 = 22,5%.

Ответ: переплата составит 135 000 рублей, что соответствует 22,5% от суммы кредита.