Разбор задания 13. Неравенства и системы неравенств — теория и разбор

Задание 13. Неравенства и системы неравенств — теория и разбор

Система неравенств решается не сложнее, чем каждое неравенство по отдельности, — просто в конце нужно взять пересечение двух решений, а не любое из них.

Что нужно знать

Линейное неравенство решается как уравнение — переносом слагаемых, только с одной оговоркой: при делении или умножении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Система из двух неравенств означает «выполняется и то, и другое одновременно» — решение системы это пересечение (общая часть) решений обоих неравенств, а не объединение.

Если решение первого неравенства «x ≤ a», а второго «x > b» (при b < a), то решением системы будет промежуток между ними «b < x ≤ a» — оба условия сразу, поэтому решение системы обычно короче, чем решение каждого неравенства по отдельности.

Правило смены знака: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак ≤/≥/</> меняется на противоположный.

Разбор примера

Как думать. Решаем каждое неравенство отдельно, затем находим общую часть двух решений — пересечение промежутков.

Первое неравенство: 5x + 15 ≤ 0 → 5x ≤ −15 → делим на 5 (число положительное, знак не меняется) → x ≤ −3.

Второе неравенство: x + 5 ≥ 1 → x ≥ −4 (здесь тоже не пришлось ни на что делить, только перенести слагаемое).

В этом конкретном примере ни одно из неравенств не потребовало деления на отрицательное число, поэтому знаки не менялись — но правило из блока выше нужно держать в голове всегда, потому что в других вариантах этого же задания знак часто приходится переворачивать.

Пересечение решений: −4 ≤ x ≤ −3.

Наибольшее значение x в этом промежутке — правый (больший) конец отрезка, то есть −3.

Ответ: −3