Разбор задания 16. Окружность, круг и их элементы — теория и разбор

Задание 16. Окружность, круг и их элементы — теория и разбор

Задание держится на нескольких фактах про углы и хорды в окружности — самый частый из них связывает центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну и ту же дугу.

Что нужно знать

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол с вершиной на самой окружности, стороны которого — хорды.

Если центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального:

∠вписанный = ∠центральный / 2 Центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу

Отдельный частый случай — когда в условии дан не сам нужный центральный угол, а другой угол, связанный с ним через диаметр. Если одна из хорд на самом деле является диаметром, три точки (два конца диаметра и центр) лежат на одной прямой, и тогда два центральных угла, опирающихся на разные части окружности по разные стороны от этой прямой, — смежные: их сумма равна 180°. Сначала находят через эту сумму нужный центральный угол, и только потом делят его пополам.

Вписанный угол всегда вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу, — а не равен ему: это самая частая ошибка, которую проверяют в этом задании.

Следствие: любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (потому что центральный угол в этом случае развёрнутый, то есть 180°).

Разбор примера

Условие (как на экзамене)

В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность с диаметрами AC и BD: центральный угол AOD 130°, вписанный угол ACB 25°

Как думать. В условии дан не тот центральный угол, который напрямую связан с искомым вписанным углом ACB, — нужный угол AOB нужно сначала найти отдельно, через свойство смежных углов.

Так как AC — диаметр, точки A, O и C лежат на одной прямой. Значит, углы AOB и AOD, отложенные от этой прямой по разные стороны от луча OB и OD, — смежные, и их сумма равна 180°:

∠AOB = 180° − ∠AOD = 180° − 130° = 50°

Угол AOB — центральный, он опирается на дугу AB. Угол ACB — вписанный: его вершина C лежит на окружности, а стороны CA и CB — хорды, стягивающие ту же дугу AB с противоположной стороны. Раз оба угла опираются на одну и ту же дугу, вписанный равен половине центрального:

∠ACB = ∠AOB / 2 = 50° / 2 = 25°

Ответ: 25