Разбор задания 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства (ч. 2) — теория и разбор

Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства (ч. 2) — теория и разбор

Уравнения и неравенства второй части устроены так же, как в первой, только квадратная (или ещё более простая) структура спрятана под непривычной записью — дробью с переменной в знаменателе, произведением скобок, кубическим многочленом. Задача — разглядеть за внешним видом знакомый приём.

Что нужно знать

Три приёма, которые вскрывают скрытую структуру

• Группировка — многочлен третьей степени (и выше) часто раскладывается на множители, если сгруппировать слагаемые попарно и вынести общий множитель из каждой пары.
• Замена переменной — если во всё уравнение переменная входит только в одном и том же составном виде (например, только как 1/x), это составное выражение удобно обозначить новой буквой.
• Прямое разложение на множители — выражения вида a² − ab раскладываются как a(a − b), и это часто превращает неравенство или уравнение в произведение простых множителей.

ОДЗ и посторонние корни

Для уравнений с переменной в знаменателе или под корнем сначала находят область допустимых значений (ОДЗ) — какие значения x вообще имеют смысл. Корень, не входящий в ОДЗ, отбрасывают, даже если он получился в ходе верных преобразований.

Уравнение вида x² = a (при a > 0) всегда имеет ДВА корня — x = √a и x = −√a, а не один: если в ходе решения появляется такое равенство, забыть про отрицательный корень — самая частая причина потери балла, даже когда вся остальная работа сделана верно.

Правило проверки корня: подставить найденное значение x обратно в исходное (не преобразованное) уравнение или неравенство — если оно не входит в ОДЗ или не удовлетворяет исходной записи, корень отбрасывается, сколько бы верных шагов ни привело к его появлению.

Разбор примеров

Ниже — три реальных задания этого номера с реальными числами (по методическим рекомендациям ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год), каждое иллюстрирует свой приём.

Пример 1. Неравенство с иррациональным коэффициентом

Решите неравенство: (x − 2)² < √3 · (x − 2).

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель (x − 2):

(x − 2)² − √3(x − 2) < 0

(x − 2) · [(x − 2) − √3] < 0

(x − 2)(x − 2 − √3) < 0

Это произведение двух множителей отрицательно, когда они разных знаков — то есть между корнями x = 2 и x = 2 + √3 (второй больше первого, так как √3 > 0).

Ответ: 2 < x < 2 + √3

Пример 2. Рациональное уравнение через замену переменной

Решите уравнение: 1/x² − 1/x − 6 = 0.

ОДЗ: x ≠ 0.

Переменная входит только как 1/x и 1/x² — вводим замену t = 1/x, тогда 1/x² = t², и уравнение принимает вид t² − t − 6 = 0.

Дискриминант: D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25, √D = 5.

Корни по t: t₁ = (1 + 5)/2 = 3, t₂ = (1 − 5)/2 = −2.

Возвращаемся к x через x = 1/t: x₁ = 1/3, x₂ = 1/(−2) = −1/2 — оба значения не равны нулю, значит подходят по ОДЗ.

Проверим вторым способом — умножим исходное уравнение на x², чтобы сразу избавиться от дробей: 1 − x − 6x² = 0, то есть 6x² + x − 1 = 0. Дискриминант: D = 1 + 24 = 25, корни x = (−1 ± 5)/12, то есть 1/3 и −1/2 — те же значения.

Ответ: x₁ = 1/3, x₂ = −1/2

Пример 3. Кубическое уравнение через группировку

Решите уравнение: x³ + 3x² − x − 3 = 0.

Группируем слагаемые попарно: первое со вторым, третье с четвёртым:

(x³ + 3x²) + (−x − 3) = 0

x²(x + 3) − 1·(x + 3) = 0

Оба слагаемых содержат общий множитель (x + 3) — выносим его:

(x + 3)(x² − 1) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: либо x + 3 = 0, либо x² − 1 = 0.

Из первого: x = −3. Из второго: x² = 1 — а это уравнение с чётной степенью, у него два корня, x = 1 и x = −1 (это как раз тот случай из теории выше, где легко потерять один из корней).

Ответ: x₁ = −3, x₂ = −1, x₃ = 1