Разбор задания 8. Числа, вычисления и алгебраические выражения — теория и разбор

Задание 8. Числа, вычисления и алгебраические выражения — теория и разбор

Внутри выражения с корнями почти всегда прячется формула сокращённого умножения — если её узнать, вычисление сводится к паре подстановок вместо долгой возни с иррациональными числами.

Что нужно знать

Три формулы сокращённого умножения, которые чаще всего нужны:

• квадрат суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y²
• квадрат разности: (x − y)² = x² − 2xy + y²
• разность квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y)

Отдельного внимания заслуживает сумма квадрата суммы и квадрата разности одних и тех же слагаемых: если сложить (x+y)² и (x−y)² почленно, удвоенное произведение 2xy входит в первую сумму со знаком «плюс», а во вторую — со знаком «минус», и при сложении эти слагаемые взаимно уничтожаются. Остаётся только 2x² + 2y² — то есть достаточно один раз возвести x и y в квадрат, не трогая произведение xy вообще.

Если в выражении встречаются одновременно (x+y)² и (x−y)² с одинаковыми x и y, не нужно раскрывать оба квадрата по отдельности и складывать шесть слагаемых — удвоенное произведение сократится само, и быстрее сразу воспользоваться тождеством (x+y)² + (x−y)² = 2x² + 2y².

Тождество суммы квадратов суммы и разности: (x + y)² + (x − y)² = 2x² + 2y² — работает для любых x и y, в том числе когда один из них содержит корень.

Типичная ошибка — не заметить это сокращение и всё же раскрыть оба квадрата по отдельности: тогда легко потерять знак у одного из слагаемых с корнем при итоговом сложении (например, вместо +4√3 − 4√3 = 0 по невнимательности записать +4√3 + 4√3 и получить лишнее слагаемое с корнем в ответе, хотя корень должен был полностью сократиться).

Разбор примера

Как думать. Узнаём в выражении сумму квадрата суммы и квадрата разности одних и тех же чисел x = 2, y = √3 — можно сразу применить тождество 2x² + 2y², не раскрывая каждый квадрат по отдельности.

По формуле квадрата суммы: (2+√3)² = 2² + 2·2·√3 + (√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.

По формуле квадрата разности: (2−√3)² = 2² − 2·2·√3 + (√3)² = 4 − 4√3 + 3 = 7 − 4√3.

Складываем: (7 + 4√3) + (7 − 4√3). Слагаемые с корнем +4√3 и −4√3 взаимно уничтожаются, остаётся 7 + 7 = 14.

Тот же результат получаем быстрее через тождество: 2x² + 2y² = 2·2² + 2·(√3)² = 8 + 6 = 14.

Ответ: 14