Скалярное произведение векторов: тренажёр с ответами

Задача 1. По рисунку a = (2; 6), b = (8; 4). Скалярное произведение: a·b = 2·8 + 6·4 = 16 + 24 = 40.

Задача 2. a = (4−2; 10−4) = (2; 6), b = (10−2; 6−2) = (8; 4). a·b = 2·8 + 6·4 = 40.

Задача 3. a(3; −2), b(0; 1): a·b = 3·0 + (−2)·1 = −2.

Задача 4. Метод: по клеткам определяем координаты начала и конца каждого вектора, вычитаем (конец минус начало) — получаем координаты a(x₁; y₁) и b(x₂; y₂). Скалярное произведение считаем по формуле a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Обратите внимание: у горизонтального вектора вторая координата равна нулю, поэтому произведение зависит только от произведения первых координат.

Задача 5. a·b = |a|·|b|·cos φ = 2√3 · 5 · cos 150° = 10√3 · (−√3/2) = −15.

Задача 6. a(1; 3), b(−4; 2): a·b = 1·(−4) + 3·2 = −4 + 6 = 2.

Задача 7. Метод тот же, что в задаче 4: снимаем с рисунка смещения по клеткам для каждого вектора и подставляем в формулу a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

Задача 8. a(0; 3), b(−2; 4): a·b = 0·(−2) + 3·4 = 12.

Задача 9. Метод: определяем координаты векторов по клеткам (конец минус начало) и считаем x₁x₂ + y₁y₂. Знак произведения подскажет проверку: у векторов, направленных «в противоположные стороны» (тупой угол), произведение отрицательно.

Задача 10. 12 = |a|·|b|·cos 45° = 2√2 · |b| · (√2/2) = 2|b| → |b| = 6.