Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства (ч. 2) — теория и разбор

Задание второй части не сложнее по идее, чем аналогичное в первой, но требует полной записи решения с обоснованием каждого шага — и часто маскирует знакомую квадратную форму под непривычной записью, например под дробью с переменной в знаменателе.

Что нужно знать

Рациональное уравнение и ОДЗ

Уравнение, где переменная стоит в знаменателе, называется рациональным. Прежде чем решать, нужно определить область допустимых значений (ОДЗ) — значения x, при которых знаменатель не обращается в ноль. Если в конце решения корень совпадает с исключённым значением, его отбрасывают.

Замена переменной

Если во всё уравнение переменная входит только в виде 1/x (то есть x встречается лишь как 1/x и 1/x²), удобно ввести замену t = 1/x — тогда уравнение относительно t становится обычным квадратным, а после его решения остаётся вернуться к x через x = 1/t.

Замена переменной не решает уравнение сама по себе — она превращает незнакомую запись в знакомую квадратную форму; после нахождения t обязательно нужно вернуться к исходной переменной x, а не оставлять ответ в виде t.

Правило ОДЗ для уравнений с x в знаменателе: x ≠ 0 — это условие проверяется один раз в начале и ещё раз в конце, когда корни уже найдены.

Как проверить решение вторым способом

Уравнение с 1/x и 1/x² можно решить и без замены — умножить обе части на x², чтобы избавиться от дробей, и получить обычное квадратное уравнение относительно x напрямую. Оба способа (через замену и через умножение на x²) должны дать один и тот же ответ — это удобный способ проверить себя, а не просто повторить одно и то же вычисление дважды.

Разбор примера

Решите уравнение: 1/x² − 1/x − 6 = 0.

Как думать. Переменная входит только как 1/x и 1/x² — вводим замену t = 1/x, получаем квадратное уравнение относительно t, а в конце переводим найденные значения t обратно в x.