Задание 9. Уравнения и системы уравнений — теория и разбор

В этом задании встречаются три формата: линейное уравнение, квадратное уравнение и система (двух уравнений или двух неравенств). Линейное решается переносом слагаемых, система — обычно подстановкой. Самый содержательный из трёх — полное квадратное уравнение через дискриминант, на нём и разберём задание подробно.

Что нужно знать

Откуда берётся дискриминант

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают по формуле x = (−b ± √D) / (2a), где D = b² − 4ac. Число D — это то самое выражение под корнем в формуле корней. Именно поэтому его знак решает всё дальнейшее: корень квадратный из отрицательного числа среди действительных чисел не существует, из нуля — единственное значение, из положительного — два разных значения (с плюсом и с минусом перед корнем).

Три случая

• D > 0 — два разных корня: x₁ = (−b + √D) / (2a), x₂ = (−b − √D) / (2a).
• D = 0 — один корень (говорят также «два совпадающих»): x = −b / (2a).
• D < 0 — действительных корней нет: под корнем оказалось бы отрицательное число.

Если коэффициент a дробный, при делении на 2a в формуле корней нельзя заменять его на 2 «для простоты» — это меняет ответ, а не просто упрощает вычисление.

Типичная ошибка на дробном коэффициенте

Пусть a = 5/4. Тогда 2a = 2,5, а не 2. Если по невнимательности разделить на 2 вместо 2,5, для уравнения из разбора ниже получились бы неверные корни −2,5 и −4,5 вместо верных −2 и −3,6 — числа похожи, ошибку легко не заметить, если не проверить подстановкой в исходное уравнение.

Проверка корня подстановкой: если x₀ — корень, то a·x₀² + b·x₀ + c должно равняться нулю — это самый надёжный способ поймать ошибку в вычислениях, даже если сама формула применена правильно.

Для уравнений с «некрасивыми» дробными коэффициентами теорема Виета (сумма корней = −b/a, произведение = c/a) неудобна для подбора целых корней — здесь оба корня всё равно дробные, поэтому быстрее и надёжнее решать напрямую через дискриминант и проверять подстановкой, чем угадывать корни.

Разбор примера

Решите уравнение: (5/4)x² + 7x + 9 = 0.

Как думать. Уравнение уже в стандартном виде ax²+bx+c=0 — выписываем коэффициенты (включая дробный a), считаем дискриминант и подставляем в формулу корней, не забывая, что 2a тоже дробное число.