Задание 23. Геометрическая задача на вычисление (ч. 2) — теория и разбор

Задача этой части почти всегда требует связать 2–3 факта вместе: свойство вписанной окружности, среднюю линию трапеции, теорему Пифагора. По отдельности каждый факт простой — сложность в том, чтобы увидеть, какие из них нужны именно здесь.

Что нужно знать

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN = (AD + BC) / 2, где AD, BC — основания.

Свойство четырёхугольника, описанного около окружности (окружность вписана в него): суммы противоположных сторон равны — AB + CD = AD + BC. Это следствие того, что отрезки касательных из одной вершины равны.

Для равнобедренной трапеции боковые стороны равны: AB = CD.

Если в трапецию вписана окружность, не нужно ничего знать про радиус, чтобы найти боковую сторону, — достаточно свойства «сумма оснований равна сумме боковых сторон», которое следует из равенства касательных отрезков.

Формула для трапеции с вписанной окружностью: AB + CD = AD + BC — сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Разбор примера

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC = 4 (меньшее) и AD (большее). Средняя линия трапеции равна 15. Найдите боковую сторону CD.

Как думать. Сначала находим большее основание через среднюю линию, затем используем свойство трапеции с вписанной окружностью, чтобы связать сумму оснований с суммой боковых сторон.