Задание 21. Текстовая задача (ч. 2) — теория и разбор
Совет: выделите текст, чтобы спросить у ИИ, или наведите (на телефоне — тапните) на подчёркнутое слово — увидите подсказку.
Задание 21. Текстовая задача (ч. 2) — теория и разбор
Задача на движение, работу или сплавы — но за разными сюжетами всегда стоит одно уравнение с одной неизвестной. Разберём самый частый вид: движение по воде.
Что нужно знать
При движении по реке скорость лодки (или катера) складывается или вычитается со скоростью течения:
- по течению скорость больше:
v + vтеч; - против течения скорость меньше:
v − vтеч,
где v — собственная скорость лодки в стоячей воде.
Время в пути на каждом участке считается по формуле t = S / v, где S — расстояние, v — скорость на этом участке. Если в условии дано общее время на путь туда и обратно, оба слагаемых времени складываются в одно уравнение.
Собственная скорость лодки — это скорость в неподвижной воде; она всегда больше скорости течения (иначе лодка не смогла бы двигаться против течения вообще), и это ограничение стоит держать в уме при выборе корня уравнения.
Уравнение для пути туда-обратно:
S / (v + vтеч) + S / (v − vтеч) = t, гдеt— общее время в пути.
Разбор примера
Моторная лодка прошла 90 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 16 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Как думать. Обозначаем собственную скорость лодки за x, записываем время по течению и против течения через x, складываем и приравниваем к 16 часам.
Показать решение и ответ
Пусть x — собственная скорость лодки (км/ч), x > 3.
Скорость по течению: x + 3; скорость против течения: x − 3.
Время по течению: 90 / (x + 3); время против течения: 90 / (x − 3).
Уравнение: 90/(x+3) + 90/(x−3) = 16.
Приводим к общему знаменателю и умножаем обе части на (x+3)(x−3):
90(x−3) + 90(x+3) = 16(x² − 9)
180x = 16x² − 144
16x² − 180x − 144 = 0, делим на 4: 4x² − 45x − 36 = 0.
Дискриминант: D = 45² + 4·4·36 = 2025 + 576 = 2601 = 51².
Корни: x = (45 ± 51) / 8. Первый корень: x = 96/8 = 12. Второй: x = −6/8 = −0,75 — отрицательный, не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 12
Похожие материалы
Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства (ч. 2) — теория и разбор
Группировка, замена переменной и разложение на множители — три реальные задачи из методических рекомендаций ФИПИ 2026 с полным разбором.
Задание 9. Уравнения и системы уравнений — теория и разбор
Дискриминант, три случая D и типичная ошибка с дробным коэффициентом — разбор реальной задачи ОГЭ.
Задание 5. Стоимость бензина на поездку — теория и разбор
Путешествия
Расчёт стоимости топлива для поездки по известному расходу автомобиля на 100 км — разбор примера.
Задание 4. Сравнение времени по двум маршрутам — теория и разбор
Путешествия
Почему более короткий маршрут не всегда быстрее — сравнение времени в пути через t=S/v — разбор примера.
Задание 3. Расстояние по тропинке напрямик — теория и разбор
Путешествия
Теорема Пифагора для расчёта длины прямого пути между концами шоссе с прямым поворотом — разбор примера.
Задание 2. Расстояние по шоссе с поворотом — теория и разбор
Путешествия
Суммирование длин участков маршрута с поворотом через промежуточный пункт — разбор примера.