Задание 22. Функции и графики (ч. 2) — теория и разбор
Совет: выделите текст, чтобы спросить у ИИ, или наведите (на телефоне — тапните) на подчёркнутое слово — увидите подсказку.
Задание 22. Функции и графики (ч. 2) — теория и разбор
Частый сюжет — найти, при каком значении параметра прямая имеет с параболой ровно одну общую точку (касается её). Инструмент — дискриминант: одна точка пересечения означает нулевой дискриминант.
Что нужно знать
Чтобы найти общие точки прямой y = kx + p и параболы y = ax² + bx + c, приравнивают правые части — получают квадратное уравнение относительно x. Число решений этого уравнения и есть число общих точек:
D > 0— две общие точки (прямая пересекает параболу);D = 0— одна общая точка (прямая касается параболы);D < 0— общих точек нет.
«Касание» на языке алгебры — это не какое-то особое геометрическое условие, а просто равенство дискриминанта нулю у полученного квадратного уравнения: других способов проверить касание в этом задании не требуется.
План решения: приравнять
kx + p = ax² + bx + c, привести к видуAx² + Bx + C = 0, потребоватьD = 0, решить относительно неизвестного параметра.
Разбор примера
При каком значении p прямая y = x + p имеет ровно одну общую точку с параболой y = x² − 8x + 16?
Как думать. Приравниваем выражения для y, получаем квадратное уравнение относительно x с параметром p, и требуем, чтобы его дискриминант был равен нулю.
Показать решение и ответ
Приравниваем: x + p = x² − 8x + 16.
Переносим всё в одну сторону: x² − 9x + (16 − p) = 0.
Для одной общей точки дискриминант должен быть равен нулю: D = (−9)² − 4·1·(16 − p) = 81 − 64 + 4p = 17 + 4p.
Решаем 17 + 4p = 0: p = −17/4 = −4,25.
Ответ: −4,25
Похожие материалы
Задание 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства (ч. 2) — теория и разбор
Группировка, замена переменной и разложение на множители — три реальные задачи из методических рекомендаций ФИПИ 2026 с полным разбором.
Задание 9. Уравнения и системы уравнений — теория и разбор
Дискриминант, три случая D и типичная ошибка с дробным коэффициентом — разбор реальной задачи ОГЭ.
Задание 5. Стоимость бензина на поездку — теория и разбор
Путешествия
Расчёт стоимости топлива для поездки по известному расходу автомобиля на 100 км — разбор примера.
Задание 4. Сравнение времени по двум маршрутам — теория и разбор
Путешествия
Почему более короткий маршрут не всегда быстрее — сравнение времени в пути через t=S/v — разбор примера.
Задание 3. Расстояние по тропинке напрямик — теория и разбор
Путешествия
Теорема Пифагора для расчёта длины прямого пути между концами шоссе с прямым поворотом — разбор примера.
Задание 2. Расстояние по шоссе с поворотом — теория и разбор
Путешествия
Суммирование длин участков маршрута с поворотом через промежуточный пункт — разбор примера.