Задание 24. Геометрическая задача на доказательство (ч. 2) — теория и разбор

Единственное задание экзамена без числового ответа — нужно логически обосновать утверждение, опираясь на определения и уже известные теоремы, а не вычислить конкретное значение.

Что нужно знать

Доказательство оценивается за полноту логической цепочки, а не только за правильную идею — каждый шаг должен явно опираться на определение, аксиому или ранее доказанную теорему.

Часто используемый факт: если в треугольнике медиана, проведённая к стороне, равна половине этой стороны, то угол напротив этой стороны — прямой (и наоборот: медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы). Это следствие свойства окружности, описанной около прямоугольного треугольника: гипотенуза — её диаметр.

Доказательство «в одну сторону» и «в обратную сторону» — это не одно и то же: то, что медиана равна половине стороны, доказывает прямой угол через свойство описанной окружности, а не наоборот (не потому, что «так всегда бывает в прямоугольных треугольниках»).

Опорный факт: середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех трёх вершин (она — центр описанной окружности), потому что гипотенуза служит диаметром этой окружности.

Разбор примера

В треугольнике ABC проведена медиана BM к стороне AC, причём BM = AC / 2. Докажите, что угол B треугольника ABC — прямой.

Как думать. Раз медиана делит AC пополам, точка M — середина AC; используем условие BM = AC/2, чтобы показать, что M равноудалена от всех трёх вершин, а значит является центром окружности, описанной около треугольника, с диаметром AC.