Задание 8. Числа, вычисления и алгебраические выражения — теория и разбор

Внутри корня или дроби почти всегда прячется формула сокращённого умножения — если её узнать, вычисление сводится к одной подстановке вместо долгих преобразований с дробями.

Что нужно знать

Три формулы сокращённого умножения, которые чаще всего нужны:

• квадрат суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y²
• квадрат разности: (x − y)² = x² − 2xy + y²
• разность квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y)

Если под корнем стоит выражение вида x² + 2xy + y², это готовый квадрат суммы (x+y)², а √(x+y)² = |x+y|.

Прежде чем подставлять числа в громоздкое выражение под корнем, стоит проверить, не сворачивается ли оно по формуле сокращённого умножения — тогда вместо возни с дробями под корнем считается всего одна сумма (или разность) один раз.

Правило: 9a² + 12ab + 4b² = (3a)² + 2·(3a)·(2b) + (2b)² = (3a + 2b)² — коэффициенты при a² и b² подсказывают, что стоит в скобках.

Разбор примера

Найдите значение выражения √(9a² + 12ab + 4b²) при a = 1/7, b = 3 2/7.

Как думать. Узнаём в подкоренном выражении квадрат суммы (3a + 2b)², извлекаем корень как модуль суммы, и только потом подставляем числа — так короче, чем вычислять три отдельных дробных слагаемых под корнем.