Задание 10. Сумма цифр числа после перевода в другую систему — теория и разбор

Третий вариант задания 10 требует не просто перевести число в другую систему счисления, а ещё и сложить получившиеся цифры — и уже эти суммы сравнить между собой.

Что нужно знать

Перевод десятичного числа в систему с основанием q — это деление уголком: делим число на q, записываем остаток (это очередная цифра, начиная с младшего разряда), делим частное снова на q, и так пока частное не станет нулём. Цифры читаются в обратном порядке — от последнего частного к первому остатку.

После перевода остаётся просто сложить все цифры результата — обычная сумма цифр, как в десятичной записи, только цифр может быть от 0 до q − 1.

Основание системы счисления ограничивает набор цифр: в системе с основанием 5 встречаются только цифры 0, 1, 2, 3, 4 — цифра 5 или больше в правильной записи появиться не может, это сигнал ошибки в переводе.

Правило перевода уголком: делим число на основание, записываем остаток как очередную цифру (с конца), повторяем с частным — пока частное не станет 0.

Разбор примера

Переведите числа 130, 152 и 170 (десятичные) в пятеричную систему счисления. Для какого из них сумма цифр получившейся записи наибольшая?

Как думать. Переводим каждое число в пятеричную систему делением уголком, затем складываем цифры каждой записи и сравниваем три суммы.

Как решить в Python

Python не умеет напрямую печатать числа в пятеричной системе (только в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной), поэтому перевод уголком удобно написать вручную:

def to_base(n, base):
    if n == 0:
        return '0'
    digits = []
    while n > 0:
        digits.append(str(n % base))
        n //= base
    return ''.join(reversed(digits))

for n in [130, 152, 170]:
    repr_in_base5 = to_base(n, 5)
    digit_sum = sum(int(d) for d in repr_in_base5)
    print(n, '->', repr_in_base5, 'сумма цифр =', digit_sum)

Вывод покажет 1010 (сумма 2), 1102 (сумма 4), 1140 (сумма 6) — наибольшая сумма у 170.