Задание 14. Прогрессии — теория и разбор

Задача почти всегда переодета в жизненную ситуацию (ряды в зале, падение температуры, шаги улитки), но за словами всегда скрывается арифметическая или геометрическая прогрессия с двумя формулами.

Что нужно знать

Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа d (разности) к предыдущему.

• n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)·d
• сумма первых n членов: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)

Признак, что перед вами именно арифметическая прогрессия, — фраза «на столько-то больше/меньше каждый следующий» (в отличие от «во столько-то раз», что указывает на геометрическую).

В текстовой задаче про ряды, этажи или дни главное — правильно определить a₁ (значение для первого элемента) и d (насколько меняется от одного элемента к следующему) — сама формула дальше применяется механически.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ), где aₙ = a₁ + (n − 1)·d.

Разбор примера

В концертном зале 16 рядов. В первом ряду 22 места, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в зале?

Как думать. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 22, d = 3, n = 16 — сначала находим число мест в последнем ряду, потом сумму всех рядов.

Как решить в Python

a1, d, n = 22, 3, 16

a_n = a1 + (n - 1) * d
s_n = n / 2 * (a1 + a_n)

print(a_n, s_n)  # 67 712.0