Задание 25. Геометрическая задача повышенной сложности (ч. 2) — теория и разбор

Последнее и самое трудное задание экзамена — обычно требует соединить несколько идей сразу: свойства касательных, тригонометрию прямоугольного треугольника и иногда координатный метод. Разберём классическую конфигурацию с двумя окружностями в угле.

Что нужно знать

Если окружность радиуса r вписана в угол с вершиной A (касается обеих его сторон), то расстояние от вершины угла до центра окружности равно r / sin α, где α — половина угла при вершине.

Если две окружности (радиусов r и R) касаются друг друга и обе вписаны в один и тот же угол, то, обозначив половину угла за α, можно связать радиусы и угол формулой:

sin α = (R − r) / (R + r)

Это следует из того, что расстояние между центрами равно R + r (внешнее касание), а разность расстояний центров от вершины угла равна R/sinα − r/sinα, что также равно проекции отрезка между центрами на биссектрису.

Общая касательная в точке касания двух окружностей всегда перпендикулярна линии, соединяющей их центры, — этот факт часто оказывается ключевым шагом, когда нужно найти длину отрезка именно этой общей касательной.

Формула для двух окружностей, вписанных в один угол и касающихся друг друга: sin α = (R − r) / (R + r), где α — половина угла при вершине.

Разбор примера

Две окружности радиусов 6 и 18 касаются друг друга внешним образом в точке M и вписаны в один и тот же угол с вершиной A. Общая касательная к окружностям, проходящая через M, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите BC.

Как думать. Сначала находим половину угла при вершине через радиусы, затем — расстояние от вершины до точки касания M, и наконец используем это расстояние и угол, чтобы найти половину отрезка BC (общая касательная в M перпендикулярна линии центров, то есть биссектрисе угла).

Как решить в Python

import math

r, R = 6, 18

sin_a = (R - r) / (R + r)
alpha = math.asin(sin_a)

AM = r / sin_a + r   # расстояние от вершины до точки касания M
half_BC = AM * math.tan(alpha)
BC = 2 * half_BC

print(math.degrees(alpha), AM, BC, 12 * math.sqrt(3))
# 30.0 18.0 20.78... 20.78...