Задание 22. Функции и графики (ч. 2) — теория и разбор

Классический сюжет этого номера — построить график составной (кусочной) функции, часто с модулем, и определить, при каких значениях параметра m горизонтальная прямая y = m пересекает этот график заданное число раз. Сложность не в вычислениях, а в том, чтобы правильно раскрыть модуль и не потерять ни одну ветвь графика.

Что нужно знать

Если в формулу функции входит модуль |x|, график строят по кускам: на каждом промежутке знака x модуль раскрывается однозначно.

• при x ≥ 0: |x| = x, подставляем это в формулу — получаем обычную (гладкую) функцию на этом промежутке;
• при x < 0: |x| = −x, подставляем — получаем, как правило, другую функцию на этом промежутке.

Обе получившиеся «ветви» вместе и составляют график. На стыке (в точке смены знака) график, как правило, непрерывен — значения обеих формул в этой точке совпадают, это стоит проверить, чтобы убедиться в правильности раскрытия модуля.

Когда обе ветви — параболы, число общих точек прямой y = m с графиком считается отдельно для каждой ветви (с учётом её собственной области определения) и складывается:

• в самой обычной точке параболы прямая y = m даёт два решения, если m лежит строго по ту сторону от вершины, где ветви расходятся, одно решение — если m в точности равно значению в вершине, и ноль решений — если m по другую сторону от вершины;
• при этом решение параболического уравнения ещё нужно проверить на принадлежность области определения именно этой ветви — корень, ушедший в «чужую» половину оси x, не считается.

Смена числа точек пересечения прямой y = m с кусочным графиком почти всегда происходит ровно в вершинах составляющих его парабол — поэтому вершины обеих ветвей стоит находить в первую очередь, а не пытаться перебирать значения m наугад.

Общий план: раскрыть модуль по знаку x, получить формулы двух парабол на своих областях определения, найти вершину каждой (значение в ней даёт «пограничное» m), и для каждого кандидата в m подставить его в оба уравнения ветвей и явно проверить область определения каждого найденного корня.

Разбор примера

Ниже — реальное задание этого номера с реальными числами (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).

Как думать. Раскрываем модуль по двум случаям, получаем формулу параболы для x ≥ 0 и другую — для x < 0, находим вершину каждой параболы, а затем для значения m, равного ординате каждой вершины, проверяем, сколько всего точек пересечения даёт прямая y = m с обеими ветвями вместе.

При x ≥ 0: |x| = x, функция принимает вид y = x(x + 1) − 3x = x² + x − 3x = x² − 2x. Это парабола ветвями вверх, вершина — в точке минимума: x = −b/(2a) = 2/2 = 1, значение там y = 1² − 2·1 = −1. Вершина первой ветви: (1; −1).

При x < 0: |x| = −x, функция принимает вид y = −x(x + 1) − 3x = −x² − x − 3x = −x² − 4x. Это парабола ветвями вниз, вершина — в точке максимума: x = −b/(2a) = −(−4)/(2·(−1)) = −2, значение там y = −(−2)² − 4·(−2) = −4 + 8 = 4. Вершина второй ветви: (−2; 4).

Проверка стыка при x = 0: обе формулы дают y = 0, график непрерывен — модуль раскрыт верно.

Так как первая ветвь (парабола вверх, определена при x ≥ 0) уходит от вершины (1; −1) вверх до +∞, а вторая ветвь (парабола вниз, определена при x < 0) уходит от вершины (−2; 4) вниз до −∞, прямая y = m даёт ровно две общие точки с графиком именно тогда, когда она проходит через вершину одной из двух парабол — в этом случае эта ветвь даёт одну точку (касание в вершине), а другая ветвь при этом же m даёт ровно одну точку в своей области определения (это нужно проверить подстановкой, а не считать автоматически).

Проверка для m = −1 (вершина первой ветви): в первой ветви — ровно одна точка x = 1 (касание). Во второй ветви решаем −x² − 4x = −1, то есть x² + 4x − 1 = 0, корни x = −2 ± √5; в область x < 0 попадает только x = −2 − √5 ≈ −4,24 (второй корень x = −2 + √5 ≈ 0,24 не подходит по знаку). Итого: 1 + 1 = 2 точки.

Проверка для m = 4 (вершина второй ветви): во второй ветви — ровно одна точка x = −2 (касание). В первой ветви решаем x² − 2x = 4, то есть x² − 2x − 4 = 0, корни x = 1 ± √5; в область x ≥ 0 попадает только x = 1 + √5 ≈ 3,24. Итого: 1 + 1 = 2 точки.

Ответ: m = −1; m = 4