Задание 24. Геометрическая задача на доказательство (ч. 2) — теория и разбор

Единственное задание экзамена без числового ответа — нужно логически обосновать утверждение, опираясь на определения и уже известные теоремы, а не вычислить конкретное значение.

Что нужно знать

Доказательство оценивается за полноту логической цепочки, а не только за правильную идею — каждый шаг должен явно опираться на определение, аксиому или ранее доказанную теорему, а не на «на глаз похоже, что так».

Ключевое для этой задачи понятие — серединный перпендикуляр отрезка: прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно ему. Его определяющее свойство: любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от обоих концов отрезка, и верно обратное — если точка равноудалена от обоих концов отрезка, она обязательно лежит на его серединном перпендикуляре. Это свойство работает в обе стороны и потому годится как инструмент доказательства: чтобы показать, что какая-то прямая — серединный перпендикуляр отрезка, достаточно показать, что каждая из как минимум двух её точек равноудалена от концов этого отрезка.

Отдельный факт, который отсюда следует: если через две разные точки, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, провести прямую, эта прямая целиком совпадает с серединным перпендикуляром — потому что через две точки можно провести только одну прямую, а серединный перпендикуляр как раз задаётся этим же условием равноудалённости.

Радиус окружности — это по определению равное расстояние от центра до любой точки этой окружности, поэтому если две окружности пересекаются в двух точках, оба центра автоматически равноудалены от каждой из точек пересечения — этот факт превращает вопрос о двух окружностях в вопрос о серединном перпендикуляре, даже если в условии само это слово не встречается.

Опорное свойство серединного перпендикуляра отрезка CD: точка P лежит на серединном перпендикуляре CD тогда и только тогда, когда PC = PD — расстояния от неё до обоих концов равны.

Разбор примера

Ниже — реальное задание этого номера (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).

Как думать. Точки C и D лежат на обеих окружностях одновременно, значит расстояние от центра E до C и до D — это радиус первой окружности, а расстояние от центра F до C и до D — радиус второй; из этого сразу следует, что и E, и F равноудалены от C и D, а значит обе точки лежат на серединном перпендикуляре к CD — а серединный перпендикуляр по определению перпендикулярен самому отрезку.

Точка C принадлежит окружности с центром E, значит EC — радиус этой окружности. Точка D тоже принадлежит окружности с центром E, значит ED — тоже радиус той же окружности. Все радиусы одной окружности равны между собой, поэтому EC = ED. Это означает, что точка E равноудалена от концов отрезка CD, а значит по определяющему свойству серединного перпендикуляра точка E лежит на серединном перпендикуляре отрезка CD.

Аналогично для второй окружности: C и D лежат на окружности с центром F, поэтому FC и FD — радиусы этой окружности, FC = FD. Значит точка F тоже равноудалена от концов CD и тоже лежит на серединном перпендикуляре отрезка CD.

Точки E и F различны (это центры двух разных окружностей), и обе лежат на серединном перпендикуляре отрезка CD. Через две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому прямая EF целиком совпадает с серединным перпендикуляром отрезка CD.

По определению серединный перпендикуляр отрезка перпендикулярен этому отрезку. Значит, прямая EF (совпавшая с серединным перпендикуляром) перпендикулярна прямой CD, что и требовалось доказать. Заодно из этого же рассуждения следует, что EF проходит через середину CD — хотя в этой задаче доказать нужно было только перпендикулярность.

Доказано: прямые CD и EF перпендикулярны