Задание 25. Геометрическая задача повышенной сложности (ч. 2) — теория и разбор

Последнее и самое трудное задание экзамена — обычно требует соединить несколько идей сразу: свойство биссектрисы, тригонометрию прямоугольного треугольника и теорему синусов. По отдельности каждый факт из школьного курса, сложность — в порядке их применения.

Что нужно знать

Свойство биссектрисы треугольника (или её отрезка) как средства деления другого отрезка. Если из вершины A треугольника проведена биссектриса угла A, и она пересекает какой-то отрезок (например, высоту BH, проведённую из другой вершины) в точке O, то эта биссектриса делит стороны треугольника ABH, образованного вершиной A, вершиной B и основанием высоты H, в отношении прилежащих сторон: BO / OH = AB / AH. Это частный случай теоремы о биссектрисе угла треугольника, применённой не к «большому» треугольнику ABC, а к «маленькому» ABH, где эта же биссектриса AO также является биссектрисой угла A (угол BAH — часть исходного угла BAC, так как H лежит на стороне AC).

Отношение BO : OH, данное в условии, таким образом напрямую превращается в отношение AB : AH — а это отношение гипотенузы к прилежащему катету прямоугольного треугольника ABH (прямой угол — при вершине H, так как BH — высота). А отношение прилежащего катета к гипотенузе — это и есть косинус угла между ними: cos(∠BAH) = AH / AB.

Дальше, зная cos A, синус того же угла находится по основному тригонометрическому тождеству: sin²A + cos²A = 1, откуда sin A = √(1 − cos²A) (берётся положительный корень, так как угол треугольника всегда от 0° до 180°, а на этом промежутке синус неотрицателен).

Финальный мост от угла к радиусу описанной окружности — теорема синусов: a / sin A = 2R, где a — сторона треугольника, лежащая напротив угла A, R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Отношение отрезков, на которые биссектриса делит высоту (в маленьком прямоугольном треугольнике ABH), совпадает не с самим искомым углом напрямую, а с отношением сторон AB : AH этого прямоугольного треугольника — то есть с косинусом угла, а не с синусом или тангенсом; перепутать, какая тригонометрическая функция соответствует этому отношению, — самая частая ошибка в этом типе задач.

Теорема синусов связывает сторону треугольника и синус противолежащего ей угла с диаметром описанной окружности: a / sin A = 2R, откуда R = a / (2 sin A).

Разбор примера

Ниже — реальное задание этого номера с реальными числами (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).

Как думать. Точка пересечения биссектрисы AO и высоты BH делит BH в отношении BO : OH = 25 : 24 — это же отношение равно AB : AH в прямоугольном треугольнике ABH, откуда получаем cos A; дальше находим sin A через основное тригонометрическое тождество и подставляем в теорему синусов вместе с известной стороной BC, противолежащей углу A.

Пусть биссектриса, проведённая из угла A, пересекает высоту BH в точке O. Высота BH перпендикулярна стороне AC, поэтому треугольник ABH прямоугольный с прямым углом при вершине H.

Отрезок AO — биссектриса угла A в треугольнике ABH (угол BAH — часть угла BAC, так как H лежит на AC). По свойству биссектрисы угла треугольника она делит противоположную сторону (здесь это высота BH) в отношении прилежащих сторон: BO / OH = AB / AH.

По условию BO : OH = 25 : 24, значит AB / AH = 25 / 24, откуда AH / AB = 24 / 25.

В прямоугольном треугольнике ABH отношение катета AH, прилежащего к углу A, к гипотенузе AB — это косинус угла A: cos A = AH / AB = 24 / 25.

Находим синус того же угла: sin A = √(1 − cos²A) = √(1 − (24/25)²) = √(1 − 576/625) = √(49/625) = 7/25.

По теореме синусов для треугольника ABC: сторона BC лежит напротив угла A, поэтому BC / sin A = 2R, откуда

R = BC / (2 sin A) = 14 / (2 · 7/25) = 14 / (14/25) = 14 · 25/14 = 25.

Ответ: 25