Задание 23. Геометрическая задача на вычисление (ч. 2) — теория и разбор

Задача этой части почти всегда сводится к одному прямоугольному треугольнику, скрытому внутри более сложной фигуры, — нужно только правильно его найти и применить теорему Пифагора или тригонометрию.

Что нужно знать

Все стороны ромба равны между собой. Это ключевое свойство, которое превращает задачу о ромбе в задачу о прямоугольном треугольнике: если провести высоту из вершины ромба к противоположной стороне, эта высота вместе с частью стороны и диагональю (или самой стороной ромба как гипотенузой) образует прямоугольный треугольник.

Если высота AH, опущенная на сторону CD ромба ABCD, делит эту сторону на отрезки DH и HC, то сама сторона CD = DH + HC (высота падает на отрезок между вершинами, и он весь состоит из этих двух частей). А так как в ромбе все стороны равны, AD = CD — то есть сторона AD, которую и хочется найти или использовать, равна той же сумме DH + HC.

Дальше — обычный прямоугольный треугольник ADH: катет DH (известен из условия), гипотенуза AD (сторона ромба, только что найденная как сумма отрезков), и второй катет AH — как раз высота ромба, которую нужно найти. Теорема Пифагора: AH² = AD² − DH².

Первый шаг почти всегда — не теорема Пифагора, а вычисление стороны ромба как суммы двух отрезков, на которые высота делит соседнюю сторону: без этого шага размер гипотенузы не известен, и теорему Пифагора применить не к чему.

Опорный факт для ромба: сторона ромба, к которой падает высота из соседней вершины, равна сумме двух отрезков, на которые эта высота её делит — CD = DH + HC — и, поскольку все стороны ромба равны, эта же сумма равна и стороне AD, которая становится гипотенузой прямоугольного треугольника с высотой.

Разбор примера

Ниже — реальное задание этого номера с реальными числами (методические рекомендации ФИПИ для предметных комиссий, 2026 год, полностью разобранный пример с максимальным баллом).

Как думать. Сначала находим сторону ромба как сумму DH + CH (все стороны ромба равны, значит эта же длина равна и стороне AD), затем в прямоугольном треугольнике ADH применяем теорему Пифагора: катет DH и гипотенуза AD известны, ищем второй катет AH — искомую высоту.

ABCD — ромб, поэтому все его стороны равны, в частности AD = CD. Сторона CD состоит из двух отрезков, на которые её делит высота: CD = DH + HC = 21 + 8 = 29. Значит, AD = 29.

Высота AH перпендикулярна CD по определению высоты, поэтому треугольник ADH — прямоугольный с прямым углом при вершине H. В нём AD — гипотенуза (сторона ромба), DH = 21 — один катет, AH — второй катет, который и нужно найти.

По теореме Пифагора: AH² = AD² − DH² = 29² − 21² = 841 − 441 = 400.

AH = √400 = 20.

Ответ: 20