Задание 3. План участка: периметр дома сложной формы — теория и разбор

Третий вопрос про участок — периметр фундамента дома. Дом на плане редко бывает простым прямоугольником: обычно это Г-образная фигура, и здесь легко перепутать приёмы, которые работают для ПЛОЩАДИ, с приёмами для ПЕРИМЕТРА — это разные вычисления с разными правилами.

Что нужно знать

Периметр любой фигуры — это сумма длин всех сторон её контура, поэтому самый надёжный способ — обойти контур по всем сторонам и сложить их длины по порядку, не пропуская ни одной.

Для Г-образной фигуры, которая получается «вырезанием» прямоугольного угла из большего прямоугольника (а не выступом или вмятиной посередине стороны), есть более быстрый приём: периметр Г-образной фигуры равен периметру её ограничивающего прямоугольника — того прямоугольника, в который фигура вписана впритык по всем четырём сторонам. Это происходит потому, что вырез угла убирает из контура два отрезка, но добавляет взамен два новых отрезка, суммарная длина которых точно такая же (они «дублируют» вырезанные куски по перпендикулярным направлениям).

Приём «периметр = периметр ограничивающего прямоугольника» работает ТОЛЬКО когда вырез — это угол, прилегающий сразу к двум внешним сторонам исходного прямоугольника. Если вырез или выступ находится посередине одной стороны (не задевает угол), периметр фигуры действительно меняется, и посчитать его нужно только обходом контура.

Частая ошибка — переносить способ подсчёта ПЛОЩАДИ на подсчёт ПЕРИМЕТРА. Площадь сложной фигуры находят, разбивая её на прямоугольники и складывая их площади — этот способ работает всегда. Но если так же разбить фигуру на два прямоугольника и сложить их периметры, результат будет неверным: внутренняя граница между двумя прямоугольниками (место стыка) не является частью настоящего контура фигуры, а при сложении периметров она учитывается дважды — по одному разу в периметре каждого прямоугольника.

Правило: периметр фигуры — это длина только её ВНЕШНЕГО контура. Разбиение на прямоугольники годится для сложения площадей, но не для сложения периметров — их придётся считать либо обходом контура целиком, либо (для углового выреза) через периметр ограничивающего прямоугольника.

Разбор примера

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Жилой дом занимает Г-образную область: если достроить её до прямоугольника, получится прямоугольник 10 м × 8 м, но угол этого прямоугольника размером 6 м × 2 м домом не занят (там начинается открытая веранда).

Как думать. Недостающий угол размером 6 × 2 м прилегает сразу к двум внешним сторонам ограничивающего прямоугольника 10 × 8 м (это именно угловой вырез, а не выступ посередине стороны) — значит, можно применить быстрый приём и не обходить весь контур по отдельным отрезкам.

Периметр ограничивающего прямоугольника: 2 · (10 + 8) = 2 · 18 = 36 м.

Так как вырез — угловой, ровно два отрезка контура (по 6 м и 2 м вдоль сторон прямоугольника) заменяются двумя новыми отрезками именно такой же суммарной длины (по 6 м и 2 м, но вдоль внутренней границы выреза) — итоговая сумма длин контура не меняется.

Для проверки обойдём контур целиком, начиная от нижнего левого угла дома и двигаясь по часовой стрелке: сначала вверх вдоль левой стороны — 8 м, затем вправо вдоль верхней стороны — 10 м, затем вниз вдоль правой стороны (только до начала выреза) — 6 м, затем влево внутрь фигуры вдоль верхней границы выреза — 6 м, затем вниз вдоль внутренней (вертикальной) стороны выреза — 2 м, и наконец влево вдоль нижней стороны обратно к началу — 4 м. Сумма: 8 + 10 + 6 + 6 + 2 + 4 = 36 м — то же самое значение, что и через ограничивающий прямоугольник.

Если бы кто-то по ошибке сложил периметры двух прямоугольников-частей дома (4 × 8 м и 6 × 6 м, на которые дом можно разбить для расчёта площади): 2 · (4 + 8) + 2 · (6 + 6) = 24 + 24 = 48 м — это неверный результат, потому что общая граница между этими двумя прямоугольниками длиной 6 м посчитана дважды, хотя внутри дома её вообще не должно быть в контуре.

Ответ: 36