Задание 3. Расстояние по прямой между сёлами — теория и разбор

Третий вопрос того же сценария — не длина пути по дорогам, а расстояние «напрямик» между двумя сёлами, если мысленно провести отрезок между ними, не заезжая в точку поворота.

Что нужно знать

По условию сценария шоссе и проселочные дороги на плане образуют прямоугольные треугольники — это значит, что везде, где два реальных дорожных отрезка сходятся под прямым углом, можно применить теорему Пифагора к отрезку «напрямик» между их дальними концами:

1. Найти два известных расстояния по дорогам от точки прямого угла до каждого из нужных сёл — это катеты будущего треугольника.
2. Если одно из этих расстояний не дано напрямую, а составлено из нескольких участков одного и того же шоссе, сначала сложить или вычесть эти участки (как в задании 2).
3. Применить теорему Пифагора: расстояние напрямик = √(катет₁² + катет₂²).

Расстояние напрямик можно посчитать только для ДВУХ сёл, которые соединены с одной и той же точкой прямого угла двумя разными отрезками шоссе — если между сёлами нет общей вершины прямого угла, теорема Пифагора здесь неприменима, и нужен другой путь (по дорогам, как в задании 2).

Формула: расстояние напрямик = √(a² + b²), где a и b — расстояния по шоссе от точки прямого угла до каждого из двух сёл.

Разбор примера

Расстояние от Егорки до Ванютино — 12 км. Расстояние от Ванютино до Жилино — 9 км. Шоссе и проселочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

Как думать. Ванютино — точка поворота на шоссе (это уже известно из задания 1), и оба нужных села соединены с ней разными шоссейными отрезками: Егорка лежит на горизонтальном шоссе, Жилино — на вертикальном. Значит, Ванютино — вершина прямого угла, а отрезок Егорка–Жилино напрямик — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами Егорка–Ванютино и Ванютино–Жилино.

Оба катета даны в условии напрямую, без дополнительных вычислений: Егорка–Ванютино = 12 км, Ванютино–Жилино = 9 км.

По теореме Пифагора: √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 км.

Ответ: 15