Задание 5. Радиус арки кожуха печи: теорема Пифагора — теория и разбор

Последний вопрос серии отступает от таблицы печей и превращается в чисто геометрическую задачу: на чертеже кожуха топки нужно найти радиус закругления арки, зная лишь два линейных размера.

Что нужно знать

Печь снабжена кожухом — металлической облицовкой вокруг дверцы топки. Нижняя часть кожуха прямоугольная, а верхняя выполнена в виде арки: дуги окружности, приваренной к боковым стенкам кожуха. Дуга не произвольная — у неё есть центр, и в условии обычно прямо сказано, где он находится (например, «в середине нижней части кожуха»).

Ключевая идея решения — дуга состоит из точек, равноудалённых от центра окружности на расстояние R (это и есть определение радиуса). Значит, если известна точка, где прямая боковая стенка переходит в дугу (назовём её B), то расстояние от центра окружности C до этой точки B тоже равно R — не важно, что B выглядит как «угол», а не «верх дуги».

Дальше вся задача сводится к прямоугольному треугольнику:

• одна вершина — прямой угол кожуха A (нижний угол, где боковая стенка встречается с основанием);
• один катет — расстояние по боковой стенке от угла A до точки B, где начинается дуга (это известная высота прямого участка);
• второй катет — расстояние по основанию от угла A до центра дуги C (обычно это половина ширины кожуха, если центр лежит на середине основания);
• гипотенуза AB и AC образуют прямой угол, потому что боковая стенка и основание кожуха перпендикулярны — а искомый радиус R = BC — это гипотенуза треугольника ABC.

Отсюда по теореме Пифагора: R² = AB² + AC².

Путают, какой отрезок на чертеже — радиус: искомый радиус — это не расстояние от центра до верхней точки арки «на глаз», а гипотенуза BC прямоугольного треугольника, которую нужно вычислить через два известных катета, а не измерить линейкой по рисунку.

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и b: гипотенуза c = √(a² + b²). Здесь катеты — известные линейные размеры чертежа, а гипотенуза — искомый радиус.

Разбор примера

Как думать. Отмечаем на чертеже нижний левый угол кожуха — точку A. От неё вверх по боковой стенке до точки, где начинается дуга, отмечаем точку B: это расстояние дано в условии и равно 40 см, оно же и есть катет AB. От точки A вдоль основания до центра дуги C — это середина ширины кожуха, то есть половина от 60 см, то есть 30 см — это второй катет AC.

Угол A — прямой, потому что боковая стенка кожуха перпендикулярна его основанию. Значит, треугольник ABC прямоугольный с катетами AB = 40 и AC = 30, а искомый радиус — это гипотенуза BC (расстояние от центра дуги C до точки на дуге B).

По теореме Пифагора:

R = BC = √(AB² + AC²) = √(40² + 30²) = √(1600 + 900) = √2500 = 50

Ответ: 50